fractalZip 0.0.1 alpha
7 ottobre 2005 , di Boliboop
Questo articolo non è la presentazione di un nuovo software ma vorrebbe esserlo. Infatti fractalZip è il nome che si potrebbe dare ad un software di compressione dati basato su algoritmi che sfruttano i frattali. Mi spiego meglio: prendete un frattale di Julia. Fatto? Bene. Un esempio è quello in figura. Ebbene, i frattali sono figure autosimili, con livello di dettaglio infinito. Ingrandendo un immagine come questa infatti, vedreste zone piccolissime del frattale che assomigliano al frattale a livelli di ingrandimento inferiore. E’ vero che questi ingrandimenti successivi si assomigliano ma da uno zoom all’altro vengono introdotti dettagli di complessità diversa. Questo significa anche che esistono sequenze di pixel (e in definitiva di bit) di ordinamento qualsiasi.
Ma siccome questi oggetti matematici sono disegnabili a partire da formule matematiche ricorsive basate sui numeri complessi ma in definitiva abbastanza semplici, è possibile calcolare facilmente queste sequenze di bit.
Se quindi volessimo ricavare da un frattale una particolare sequenza di bit di lunghezza L(corrispondente ad un file), ci basterà individuare il punto di inizio x0, y0 (che corrisponderà al bit iniziale), il valore s dello step (l’intervallo di avanzamento lungo l’asse x, ad esempio) e la lunghezza L del file.
Inviando dunque x0, y0, s, L e l’equazione del frattale (per il tipo Julia è an+1= a2n + c) ad un qualunque altro computer, questo sarà in grado facilmente (dipende ovviamente dalle capacità di calcolo di tale computer) di ricostruire il file orginale, indipendentemente dalla grandezza di tale file. Questo significa che il rapporto di compressione sarebbe enorme, impensabile con le tecnologie attuali.
Fin’ora tutto bene, ma questo ragionamento potrebbe funzionare solo se in un frattale di Julia ci fossero tutte le combinazioni possibili di bit (e non solo un infinito di ordine inferiore). Mi spiego: l’insieme dei numeri pari è un insieme infinito perché infiniti sono i numeri pari, ma non descrive ovviamente tutti i numeri possibili perché mancano i numeri dispari. L’insieme di tutti i numeri interi è comunque un infinito dello stesso ordine dei soli pari, perché possono essere messi in corrispondenza biunivoca. Se invece prendiamo un piano, l’insieme di tutti i suoi punti è un infinito di ordine 2 (praticamente infinito elevato al quadrato) rispetto all’insieme dei punti di una retta, che è un infinito di ordine 1. Rapportato a fractalZip, da questo ragionamento si evince che pur essendoci una infinita varietà di sequenze di pixel e bit in un frattale, forse non ci sono tutte le possibili combinazioni e quindi non tutti i file sarebbero comprimibili. Ma è ancora tutto da dimostrare.
In ultimo, ma non per importanza, potremmo non riuscire mai a trovare il punto x0, y0 sul piano complesso da cui far partire l’algoritmo.
Insomma questo tipo di compessione, seppur un viaggio affascinante nella matematica e nella tecnologia informatica, potrebbe non essere realizzabile. Ma è ancora da dimostrare il contrario. E se qualcuno dovesse trovare un modo per risolvere i problemi su esposti può scrivere un breve commento a questo articolo oppure, a scelta, prenotarsi per il prossimo premio Nobel. 
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