gennaio 04, 2010

Ho i pollici, voglio le dimensioni

Un classico quesito per chi acquista televisori, monitor, computer portatili, smartphone e tablet è quello ti riuscire a risalire alle dimensioni effettive (altezza e larghezza) a partire dai pollici, che si riferiscono sempre alla diagonale del display. In questo articolo vedremo come si fa questo calcolo.

Proporzioni

Innanzitutto non è possibile effettuare il calcolo se non si hanno anche le proporzioni. Il display di cui parliamo è widescreen 16:9, è 4:3 come i vecchi televisori a tubo catodico, oppure è 3:2 come l’iPhone? Una volta scoperto (non dovrebbe essere difficile reperire tale informazione) chiamiamo questo rapporto b:a=k , cioè base su altezza uguale ad un valore noto, cioé, ad esempio, 1,78 se il display è 16:9.
Anche se e sono valori adimensionali (16 e 9 sono numeri puri, senza unità di misura), la base e l’altezza in pollici ( e ) sono ovviamente nello stesso rapporto . possiamo quindi scrivere:

k = B : A

Teorema di Pitagora

Strano a dirsi, ma per calcolare la soluzione è necessario il teorema di Pitagora.

Scriviamolo secondo i lati e espressi in pollici, con ipotenusa la diagonale del display espressa in pollici:

C^2 = A^2 + B^2

Valgono quindi le seguenti

$C = \sqrt{A^2 + B^2}$
e
B=kA

e quindi

$C = \sqrt{A^2 + k^2A^2}=A\sqrt{ k^2+1}$

i valori di e risultano quindi essere

$A = \frac{C}{\sqrt{ k^2+1}}$
$B= \frac{kC}{\sqrt{ k^2+1}}$

espressioni in funzione degli unici due dati conosciuti: la diagonale del display e il rapporto di proporzione .

Come ultimo passaggio ricordiamoci che 1 pollice equivale a 2,54 cm e otteniamo

$A_{cm} = \frac{2,54 \times C_{pollici}}{\sqrt{ k^2+1}}$
$B_{cm}= k A_{cm} = \frac{2,54 \times k C_{pollici}}{\sqrt{k^2+1}}$

Esempio

Applichiamo quindi queste formule nel caso di un display 13,3″ in proporzione 16:10 (monitor di un Apple MacBook).

k = b:a = 16: 10 = 1,6
e
$sqrt{k^2+1}= 1,88$

e si ha quindi

$A = \frac{2,54 \times 13,3}{1,88} \simeq 18 cm$
e
$B = 1,8 * 1,6 \simeq 28,8 cm$

Tabelle

Dal momento che i rapporti di proporzione dei display non sono poi molti, eccovi una tabella riassuntiva con i valori di e $\sqrt{k^2+1}$ (che indicherò con $\alpha$ ):

proporzioni		$\alpha$
4:3	1,33	2,77
16:9	1,78	4,16
16:10	1,6	3,56
3:2	1,5	3,25

Le formule semplificate diventano quindi:

$Altezza_{cm} = \frac{2,54 \times Pollici}{\alpha}$
$Base_{cm}= k \times Altezza_{cm} = \frac{2,54 \times k \times Pollici}{\alpha}$

Per ottenere informazioni sugli altri rapporti d’aspetto delle immagini (sia fotografiche che video) consultate wikipedia alla voce Aspect ratio.

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